Théorème de Thalès : démonstration

par  professeur de Mathématiques 1

La première démonstration du théorème de Thalès est due à Euclide, dans
le livre VI de ses Éléments. Nous nous proposons de la restituer en
langage moderne...

 

Les aires des triangles BEF et CEF sont égales (et valent toutes deux \(\frac{EF \times h}{2}\))

 

 Or \(aire(ABF)=aire(AEF)-aire(BEF)\)

 

et de même : \(aire(ACE) = aire(AEF)-aire(CEF)\)

Donc \(aire(ABF) = aire(ACE)\)

Nous allons exploiter ces égalités sur les aires.

 

En utilisant la hauteur (FI), on trouve que :

  • \(aire(ABF) = \frac{AB \times FI}{2}\)
  • \(aire(AEF) = \frac{AE \times FI}{2}\)

On a donc : \(\frac{aire(ABF)}{aire(AEF)} = \frac{AB}{AE}\) (1)

 

De même, en utilisant la hauteur (EJ), on trouve :

\(\frac{aire(ACE)}{aire(AEF)} = \frac{AC}{AF}\) (2)

Mais (1) et (2) sont égales, et on trouve le théorème
de Thalès.

Source : https://www.bibmath.net/


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