Volume d’une boîte

mardi 26 janvier 2010
par  professeur de Mathématiques 3

Le problème

On considère un carré de côté 10 cm.
À chaque coin de ce carré, on découpe un carré de côté $x$ cm.
On obtient alors le patron d’une boîte parallélépipédique sans couvercle.
On cherche la ou les valeurs de $x$ pour que le volume de cette boîte soit égal à 70 cm³.

Mise en équation

Comme dans chaque coin on découpe un carré de côté $x$ cm, on a :

$$0< x <5$$

Le volume d’un parallélépipède rectangle est le produit $longueur \times largeur \times hauteur$.

Ici $longueur = largeur=(10-2x)$ et $hauteur =x$.

Donc le volume de la boîte est donné par :

$$V =x(10-2x)^2$$

Donc pour trouver la ou les valeurs de $x$ pour que le volume de cette boîte soit égal à 70 cm³, on doit résoudre l’équation :

$$x(10-2x)^2 =70$$

On développe le membre de gauche :

$$x(100-40x+4x^2) =70$$


soit

$$4x^3-40x^2+100x =70$$

On dit que c’est une équation de degré 3 (à cause du $x ^3$).

On utilise le tableur pour associer à plusieurs valeurs de $x$ le volume $V$ correspondant.

Le volume $V$ change de valeur quand $x$ change. Le volume $V$ dépend donc de la valeur de $x$. On notera donc le volume $V (x)$ (prononcer "$V$ de $x$").

Résolution de l’équation

En utilisant un tableur on obtient la courbe suivante :

Les solutions de l’équation sont les abscisses des points de la courbe ayant pour ordonnée 70.

On peut lire 1,3 et 2,2, qui sont des valeurs approchées des solutions.


Documents joints

Excel - 9.5 kio

Commentaires

Logo de professeur de Mathématiques 3
dimanche 25 avril 2010 à 11h52 - par  professeur de Mathématiques 3

C’est l’identité remarquable $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ donc :

$$(10-2x)^2=10^2-2\times 10\times 2x+(2x)^2=100-40x+4x^2$$

Ainsi on a bien :

$$x(10-2x)^2=x(100-40x+4x^2)=4x^3-40x^2+100x$$

samedi 24 avril 2010 à 17h47

bonjour, je sais que cela peut paraître un peu nul comme question mais je suis nul en maths :s
comment avez vous trouvé le 40X quand vous avec developpé le membre de gauche ?

Navigation

Articles de la rubrique

  • Volume d’une boîte