Ensembles de nombres

jeudi 17 décembre 2009
par  Classe de Mathématiques 3

Différents "types" de nombres

- Les nombres entiers positifs : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5... qui servent à dénombrer les choses ou les individus, sont appelés entiers naturels. L’ensemble de ces entiers naturels est noté \mathbb{N}.

- Les nombres entiers relatifs sont les nombres : - 4 ; - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3... Cet ensemble, formé des nombres entiers naturels et de leurs opposés, est noté \mathbb {Z}. Il contient donc \mathbb{N} .

- Les nombres pouvant s’écrire comme le quotient d’un entier relatif par un entier naturel non nul sont appelés nombres rationnels (du latin ratio, signifiant rapport). Par exemple : \frac {27}{11} ; \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3} ; \frac{5}{-4}=\frac{-5}{4}=-1,25 sont tous les trois des nombres rationnels. L’ensemble des nombres rationnels est noté \mathbb {Q}. Remarquez que chaque entier relatif peut s’écrire sous la forme d’un nombre rationnel : 2 = \frac{2}{1} ou encore -3 = \frac{-3}{1}=\frac{-6}{2}=\frac{-30}{10} etc... L’ensemble \mathbb {Q} contient donc \mathbb {Z}.

- Parmi ces rationnels, ceux qui peuvent s’écrire comme le quotient d’un entier relatif par une puissance de 10 sont appelés nombres décimaux. On peut les écrire sous la forme d’un nombre à virgule, virgule suivie d’un nombre fini de chiffres. Leur ensemble est noté \mathbb {D}. Par exemple : \frac {67} {10000} = 0,006 7 ; -\frac{24}{5}=-\frac{48}{10}=-4,8 sont des nombres décimaux. Il est évident que \mathbb {Q} contient \mathbb {D}, et que \mathbb {D} contient \mathbb {Z}. (En effet, 2 = 2,00 ou encore -4=-4,0=-\frac{400}{100} ...).

- Enfin, les nombres comme \pi ou encore \sqrt{2}, qui ne sont ni entiers, ni rationnels, sont appelés nombres irrationnels.

- L’ensemble de tous les nombres (entiers, décimaux, rationnels et irrationnels) est appelé ensemble des nombres réels, et est noté \mathbb {R}.

Remarque : Les entiers naturels sont des entiers relatifs, les entiers relatifs sont des nombres décimaux, les nombres décimaux sont des nombres rationnels, et les nombres rationnels sont des nombres réels.
On note :

\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {D} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}

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