Théorème de Thalès : démonstration

vendredi 23 mai 2003
par Classe de Mathématiques 1

La première démonstration du théorème de Thalès est due à Euclide, dans
le livre VI de ses Éléments. Nous nous proposons de la restituer en
langage moderne...

	Les aires des triangles BEF et CEF sont égales (et valent toutes deux $\frac{EF \times h}{2}$ )
	Or $aire(ABF)=aire(AEF)-aire(BEF)$
	et de même : $aire(ACE) = aire(AEF)-aire(CEF)$ Donc $aire(ABF) = aire(ACE)$ Nous allons exploiter ces égalités sur les aires.
	En utilisant la hauteur (FI), on trouve que : $aire(ABF) = \frac{AB \times FI}{2}$ $aire(AEF) = \frac{AE \times FI}{2}$ On a donc : $\frac{aire(ABF)}{aire(AEF)} = \frac{AB}{AE}$ (1)
	De même, en utilisant la hauteur (EJ), on trouve : $\frac{aire(ACE)}{aire(AEF)} = \frac{AC}{AF}$ (2) Mais (1) et (2) sont égales, et on trouve le théorème de Thalès.